如何证明等差数列(精选多篇)

第一篇：如何证明等差数列

如何证明等差数列

设等差数列an=a1+(n-1)d

最大数加最小数除以二即

/2=a1+(n-1)d/2

{an}的平均数为

sn/n=/n=a1+(n-1)d/2

得证

1三个数abc成等差数列，则c-b=b-a

c^2(a+b)-b^2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)

b^2(c+a)-a^2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)

因c-b=b-a，则(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)

即c^2(a+b)-b^2(c+a)=b^2(c+a)-a^2(b+c)

所以a^2(b+c),b^2(c+a),c^2(a+b)成等差数列

等差：an-(an-1)=常数(n≥2)

等比：an/(an-1=常数(n≥2)

等差：an-(an-1)=d或2an=(an-1)+(an+1),(n≥2)

等比：an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).

2

我们推测数列{an}的通项公式为an=5n-4

下面用数学规纳法来证明：

1)容易验证a1=5*1-4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推测均成立

2)假设当n≤k时，推测是成立的，即有aj=5(j-1)-4，(j≤k)

则sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2

于是s(k+1)=a(k+1)+sk

而由题意知：(5k-8)s(k+1)-(5k+2)sk=-20k-8

即：(5k-8)*-(5k+2)sk=-20k-8

所以(5k-8)a(k+1)-10sk=-20k-8

即：(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1)

所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4

即知n=k+1时，推测仍成立。

3

在新的数列中

an=s

=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)

a(n-1)=s

=a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

an-a(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)-a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

=4d+4d+4d+4d+4d

=20d(d为原数列公差)

20d为常数,所以新数列为等差数列上，an=5n-4即为数列的通项公式，故它为一等差数列。

4

a(n+1)-2an=2(an-2an-1)a(n+1)-2an=3*2^(n-1)两边同时除2^(n+1)得-an/2^n=3/4即{an/2^n}的公差为3/4an除以2的n次方为首项为1/2公差为3/4的等差数列

5

那么你就设直角三角形地三条边为a，a+b,a+2b

于是它是直角三角形得到

a²+(a+b)²=(a+2b)²

所以a²+a²+2ab+b²=a²+4ab+4b²

化简得a²=2ab+3b²

两边同时除以b²

解得a/b=3即a=3b

所以三边可以写为3b，3b+b。3b+2b

所以三边之比为3：4：5

6

设等差数列an=a1+(n-1)d

最大数加最小数除以二即

/2=a1+(n-1)d/2

{an}的平均数为

sn/n=/n=a1+(n-1)d/2

得证

第二篇：等差数列的证明

等差数列的证明

1三个数abc成等差数列，则c-b=b-a

c^2(a+b)-b^2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)

b^2(c+a)-a^2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)

因c-b=b-a，则(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)

即c^2(a+b)-b^2(c+a)=b^2(c+a)-a^2(b+c)

所以a^2(b+c),b^2(c+a),c^2(a+b)成等差数列

等差：an-(an-1)=常数(n≥2)

等比：an/(an-1=常数(n≥2)

等差：an-(an-1)=d或2an=(an-1)+(an+1),(n≥2)

等比：an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).

2

我们推测数列{an}的通项公式为an=5n-4

下面用数学规纳法来证明：

1)容易验证a1=5*1-4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推测均成立

2)假设当n≤k时，推测是成立的，即有aj=5(j-1)-4，(j≤k)

则sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2

于是s(k+1)=a(k+1)+sk

而由题意知：(5k-8)s(k+1)-(5k+2)sk=-20k-8

即：(5k-8)*-(5k+2)sk=-20k-8

所以(5k-8)a(k+1)-10sk=-20k-8

即：(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1)

所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4

即知n=k+1时，推测仍成立。

3

在新的数列中

an=s

=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)

a(n-1)=s

=a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

an-a(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)-a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

=4d+4d+4d+4d+4d

=20d(d为原数列公差)

20d为常数,所以新数列为等差数列上，an=5n-4即为数列的通项公式，故它为一等差数列。

4

a(n+1)-2an=2(an-2an-1)a(n+1)-2an=3*2^(n-1)两边同时除2^(n+1)得-an/2^n=3/4即{an/2^n}的公差为3/4an除以2的n次方为首项为1/2公差为3/4的等差数列

5

证明：

an=sn-sn-1=n(a1+an)/2-(n-1)(a1+an-1)/2

2an=na1+nan-na1-nan-1+a1+an-1

(n-2)an=(n-1)*(an-1)-a1(1)

同理

(n-1)*(an+1)=nan-a1(2)

(1)-(2)

得到

(2n-2)an=(n-1)*(an-1)+(n-1)(an+1)

2an=an-1+an+1

所以an+1-an=an-an-1

所以数列{an}是等差数列

那么你就设直角三角形地三条边为a，a+b,a+2b

于是它是直角三角形得到

a²+(a+b)&su(感谢访问：Www.)p2;=(a+2b)²

所以a²+a²+2ab+b²=a²+4ab+4b²

化简得a²=2ab+3b²

两边同时除以b²

解得a/b=3即a=3b

所以三边可以写为3b，3b+b。3b+2b

所以三边之比为3：4：5

6

设等差数列an=a1+(n-1)d

最大数加最小数除以二即

/2=a1+(n-1)d/2

{an}的平均数为

sn/n=/n=a1+(n-1)d/2

得证

第三篇：等差数列证明

设数列｛an｝的前n项和为sn，若对于所有的正整数n，都有sn=n(a1+an)/2,求证：｛an｝是等差数列

解：证法一：令d=a2－a1，下面用数学归纳法证明an=a1+（n－1）d（n∈n*） ①当n=1时，上述等式为恒等式a1=a1，

当n=2时，a1+（2－1）d=a1+（a2－a1）=a2，等式成立.

②假设当n=k（k∈n，k≥2）时命题成立，即ak=a1+（k－1）d 由题设，有sk?

k(a1?ak)(k?1)(a1?ak?1)

,sk?1?， 22

(k?1)(a1?ak?1)k(a1?ak)

?+ak+1

22

又sk+1=sk+ak+1，所以

将ak=a1+（k－1）d代入上式，

得（k+1）（a1+ak+1）=2ka1+k（k－1）d+2ak+1 整理得（k－1）ak+1=（k－1）a1+k（k－1）d ∵k≥2，∴ak+1=a1+［（k+1）－1］d. 即n=k+1时等式成立.

由①和②，等式对所有的自然数n成立，从而{an}是等差数列. 证法二：当n≥2时，由题设，sn?1?

(n?1)(a1?an?1)n(a1?an)

,sn?

22

所以an?sn?sn?1?

n(a1?a2)(n?1)(a1?an?1)

? 22

(n?1)(a1?an?1)n(a1?an)

?同理有an?1?

22

从而an?1?an?

(n?1)(a1?an?1)(n?1)(a1?an?1)

?n(a1?an)?

22

整理得：an+1－an=an－an－1，对任意n≥2成立.

从而{an}是等差数列.

评述：本题考查等差数列的基础知识，数学归纳法及推理论证能力，教材中是由等差数列的通项公式推出数列的求和公式，本题逆向思维，由数列的求和公式去推数列的通项公式，有一定的难度.考生失误的主要原因是知道用数学归纳法证，却不知用数学归纳法证什么，这里需要把数列成等差数列这一文字语言，转化为数列通项公式是an=a1+（n－1）d这一数学符号语言.证法二需要一定的技巧.

第四篇：等差数列的证明

一、 等差数列的证明 利用等差（等比）数列的定义

在数列{an}中，若an?an?1?d

二．运用等差中项性质

an?an?2?2an?1?{an}是等差数列

三．通项与前n项和法

若数列通项an能表示成an?an?b（a，b为常数）的形式，则数列?an?是等差数列； 若数列?an?的前n项和sn能表示成sn?an2?bn (a，b为常数)的形式，则数列?an?等差数列；

例1.若sn是数列?an?的前n项和，sn?n2,则?an?是().

ａ．等比数列，但不是等差数列ｂ.等差数列，但不是等比数列ｃ．等差数列，而且也是等比数列ｄ.既非等比数列又非等差数列

练习：已知数列前n项和sn?n2?2n，求通项公式an，并说明这个数列是否为等差数列。

练习：设数列?an?的前n项的和sn?n2?2n?4,?n?n??，

⑴写出这个数列的前三项a1,a2,a3；

⑵证明：数列?an?除去首项后所成的数列a2,a3,a4?是等差数列。

例2：已知数列?an?满足a1?1，an?2an?1?2

（ⅰ）求证：数列?n?n?2?， ?an?是等差数列； n?2??

（ⅱ）求数列?an?的通项公式。

练习：已知数列?an?满足a1?2，an?1?an， 1?2an（ⅰ）求证：数列??1??是等差数列； a?n?（ⅱ）求数列?an?的通项公式。

第五篇：已知数列{an}是等差数列,设bn=a2n 1-a2n证明：数列{bn}是等差数列

已知数列{an}是等差数列，设ｂｎ＝ａ2n+1－ａ2n证明：数列｛ｂn｝是等差数列

思路：这个题的方法和上课讲的方法是一致的，你没有做出来，是因为忽略了数列{an}是等差数列这个条件，这个条件就以为着对于{an}来说，前后两项的差为常数

证明：设等差数列{an}的公差为d

bn?1?bn

2222?(an?2?an?1)?(an?1?an)

?(an?2?an?1)(an?2?an?1)?(an?1?an)(an?1?an)

?d(an?2?an?1)?d(an?1?an)

?d(an?2?an?1?an?1?an)

?d(an?2?an)

?d?2d

?2d2

⊙已知函数ｆ﹙ｘ）＝ｘ3＋ｘ，ｇ（ｘ）＝（ｘ2＋ａｘ＋４）÷ｘ （１）若对任意的ｘ1属于【１，３】，存在ｘ2属于【１，３】，使得ｆ（ｘ1）≥ｇ（ｘ2）成立，求ａ的取值范围。

（２）若对任意的ｘ1，ｘ2属于【１，３】都有ｆ（ｘ1）≥ｇ（ｘ2）成立，求ａ的取值范围。思路：第2问是恒成立问题，你说的对，第一个问不是。因为是“存在ｘ2”，所

以应该满足的条件是f(x)的最大值大于等于g(x)的最大值，f(x)的最小值大于等于g(x)的最小值，

解：f(x)通过求导可求得值域为f(x1)?[2,30]，g(x2)?x?4?a?[4?a,5?a] x

?30?5?a所以（1）解不等式?，解不等式即可 2?4?a?

（2）2?5?a，解不等式即可

⊙设ｍ属于ｒ，在平面直角坐标系中，已知向量ａ＝（ｍｘ，ｙ＋１），向量ｂ＝（ｘ，ｙ－１），向量ａ⊥向量ｂ，动点ｍ（ｘ，ｙ）的轨迹为ｅ。

已知ｍ＝１／４，证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹ｅ恒有两个交点ａ，ｂ，且ｏａ⊥ｏｂ(ｏ为坐标原点），并求出该圆的方程。

思路：该题就是一个“直线和圆锥曲线相交”的问题，方法是韦达定理法。关于解析几何的大题，我会在寒假的时候，重点训练大家的，这种题的特点是运算量大，思路倒是没有什么问题。先根据向量垂直，求出m的轨迹方程为椭圆。然后在根据圆的性质：切点与圆心的连线与切线垂直，切点与圆心的距离等于半径，再加上向量垂直，即可求解。

?12x2

222?y2?1 解：?b?x?y?1?0?x?4y?4?44

设圆的切线的切点坐标为p(x0,y0)，则k0p?y0x，因为op和ab垂直，所以kab??0，x0y0则设直线ab的方程：y?y0??x0(x?x0)带入到椭圆方程中，得： y0

2(y0?4x0)x?8x0rx?4r?4y0?0?x1?x2?222248x0r2

y0?4x022,x1x2?4r4?4y0y0?4x0222

r2?x0x1r2?x0x2又因为0a?0p?x1x2?y1y2?0?x1x2?()()?0y0y0

?x1x2?r2?x0(x1?x2)?0

将上面求得的x1?x2?8x0r2

y0?4x022,x1x2?4r4?4y0y0?4x0222带入到上式中，整理可求得

r2?4422，即圆的方程为x?y? 55

⊙设ａ＞１，则双曲线ｘ2÷ａ2－ｙ2÷（ａ＋１）2＝１的离心率ｅ的取值范围是？ a2?(a?1)21解：e??2a??2?5 aa

总结;最后求范围是根据对勾函数求的，如果不懂，可以参考函数课程中的“分式函数”这节课。